6.3.1二次函数与一元二次方程

张志刚 公开课 2014年2月25日

教学目的：

1.经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的联系；

2.理解抛物线与 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系；

3.会求抛物线与坐标轴的交点坐标.

复习：

1. 根据 的图象和性质填表：

函 数	图 象		开口	对称轴	顶 点	增 减 性
			向上			当 时， 随 的增大而减少. 当 时， 随 的增大而 .
						当 时， 随 的增大而减少. 当 时， 随 的增大而 .

2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 .

3.解下列一元二次方程：

① ② ③

4.对于任何一个一元二次方程 ，我们可以通过表达式 的值判断方程的根的情况如下：当 >0时，方程有 实数根；

当 =0时，方程有 实数根；

当 <0时，方程 实数根.

一、探索归纳：

1.观察二次函数的图象，写出它们与 轴、 轴的交点坐标：

函数
图 象
交 点	与 轴交点坐标是	与 轴交点坐标是	与 轴
	与 轴交点坐标是	与 轴交点坐标是	与 轴交点坐标是

2.对比《课前自习》第3题各方程的解，你发现什么？

3.归纳：

⑴一元二次方程 的实数根就是对应的二次函数 与

轴交点的 .

⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 ）

二次函数		与	一元二次方程
	与 轴有 个交点		0，方程有 的 实数根是 .
	与 轴有 个交点 这个交点是 点		0，方程有 的 实数根是 .
	与 轴有 个交点		0，方程 实数根.

⑶二次函数 与 轴交点坐标是 .

练习.判断下列函数的图象与 轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由.

⑴ ； ⑵ ⑶

二、例题：

例1、已知二次函数 .求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标.

归纳：⑴求抛物线 与 轴的交点坐标只要令 ，转化为求对应

方程 的解；若对应方程的实数根为 ，则抛物线与 轴

的交点坐标是 ，特别当 时，这个交点就是抛物线的 .

⑵求抛物线 与 轴的交点坐标只要令 ，该交点坐标是 .

这也是求任意函数的图象与坐标轴交点坐标的一般方法.

练习：

1.抛物线 与 轴的交点坐标是 ，与 轴的交点坐标是 .

2.抛物线 的图象都在 轴的下方，则函数值 的取值范围是 .

3.抛物线 与 轴只有一个交点（-3，0），则它的顶点坐标是 .

4. 若抛物线 与 轴只有1个交点，求 的值.

5. 求抛物线 与 轴的交点之间的距离.

拓展提升

利用下列平面直角坐标系求例①中抛物线 与坐标轴的交点围成的

△ABC的周长和面积.

抛物线上是否存在点D，令△ABD与△ABC面积相等，如果有，请写出D点坐标.

作业：

1.判断下列函数的图象与 轴是否有公共点，有几个公共点，并说明理由.

① ② ③

2.二次函数的图象与一元二次方程的根的关系如下：

抛物线与 轴有 个公共点 0，方程有 实数根；

抛物线与 轴有 个公共点 0，方程有 实数根；

抛物线与 轴有 个公共点 0，方程 实数根.

3.抛物线 的图象都在 轴的上方，则函数值 的取值范围是 .

4.若抛物线 与 轴只有1个交点，则 = .

5.抛物线 的顶点是（3，0），则它与 轴有 个交点.

6.已知二次函数 .

⑴求该抛物线的图象与坐标轴的交点坐标.

⑵求抛物线与 轴的交点之间的距离.

二次函数与一元二次方程》教学反思

张志刚

本节课主要内容是探讨二次函数与一元二次方程的关系。教材结合具体的实例讨论了一元二次方程的实根与二次函数图象之间的联系，探究抛物线与 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系；会求抛物线与坐标轴的交点坐标.这一节是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容。

由于九年级学生已经具备一定的抽象思维能力，再者，在八年级时已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，因而，采用类比的方法在学生预习自学的基础上放手让学生大胆地猜想、交流，分组合作，同时设定一定的问题环境来引导学生的探究过程，最后在老师的释疑、归纳、拓展、总结的过程中结束本节课的教学。在知识掌握上，学生对二次函数的图象及其性质和一元二次方程的解的情况都有所了解，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系利用类比的方法让学生在自学的基础上进行交流合作学习应该不是难题。本节课的主要目的在于建立二次函数与一元二次方程之间的联系，渗透数形结合的思想，所以要注意以下几点：

1．注重知识的发生过程与思想方法的应用

本节内容比较多，而课时安排只一节，为了在一节课的时间里更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律遵循教师为主导、学生为主体的指导思想，本节课给学生布置的预习作业，从学生已有的经验出发引发学生观察、分析、类比、联想、归纳、总结获得新的知识，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态中，对新的知识的获得觉得不意外，让学生“跳一跳就可以摘到桃子”。探究抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系及其应用的过程中，引导学生观察图形，从图象与x轴交点的个数与方程的根之间进行分析、猜想、归纳、总结，这是重要的数学中数形结合的思想方法，在整个教学过程中始终贯穿的是类比思想方法。这些方法的使用对学生良好思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发展也有一定的作用。

2．关注学生学习的过程

在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题串、给学生提供广阔的思考空间、活动空间、为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界。

3．强化行为反思

“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力”，本节课在教学过程中始终融入反思的环节，用问题的设计，课堂小结，课后的数学日记等方式引发学生反思，使学生在掌握知识的同时，领悟解决问题的策略，积累学习方法。

4．优化作业设计作业的设计分必做题和选做题，必做题巩固本课基础知识，基本要求；选做题属于拓广探索题目，培养学生的创新能力和实践能力。

总之，在教学过程中，我始终遵循着“有效的数学学习活动不能单独地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。”这一《新课程标准》的精神，注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得了一定的教学效果，我再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题。